BAC 2006 :Session Normale

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soit `n in N ; n >= 3 ` , soit la fonction `g_n` définie sur `R^{+* } ` par `g_n(x) = nx+2lnx`
Partie 1
1) Dresser le tableau des variations de `g_n`

2) Montrer que `(forall x in R^{*+} : sqrt(x) > ln(x) `

3) a) Montrer que l équation `g_n(x)=0` admet une solution unique `alpha_n in R^{+*} ` et que `1/n < alpha_n < 1/{sqrt(n)}`

b) En déduire `lim_{ n to + infty } alpha_n `

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Partie 2

soit al fonction numérique `f` définie sur `[0,+infty[ ` par `f(x) = (x)^{1/3}e^{-x}`

1) Etudier la dérivabilité de la fonction `f` à droite en `0` , puis interpréter le résultat géométriquement

2) Calculer `lim_{ x to + infty } f(x) ` puis donner l interprétation géométrique du résultat obtenu

3) a) Montrer que `(forall x in R^{*+} ; f'(x) = {1-3x}/{3x}f(x)`

b) Dresser le tableau des variations de `f`

4) Construire la courbe `C_f` dans un repère orthonormé

II) On pose `I= [1/3,1]`

1) a) Montrer que `f(I) subset I `

b) En utilisant 3a) Montrer que `(forall x in I ) : abs(f'(x)) <= 2/3`

c) Montrer que `(f(x) = x et x > 0 ) <=> x= alpha_3` ou `alpha_3` est la solution de l équation `g_3(x)`

2) soit la suite `(u_n) ` définie par

`u_0= 1/3 ` et `(forall n in N) : u_{n+1} = f(u_n) `

a) Montrer que `(forall n in N ) : u_n in I `

b) Montrer que `(forall n in N ) : abs(u_{n+1} -alpha_3) <= 2/3abs(u_n -alpha_3)`

c) En déduire que `(forall n in N ) : abs(u_n -alpha_3) <= (2/3)^{n+1} `

d) Montrer que `(u_n)` est une suite convergente puis déterminer sa limite